Mathematic Female Group

Tugas 2 PDM

Diposting oleh Mathematic Female Group on Kamis, 15 September 2016 di 12.24

Tugas 2 PDM

# Exercise 1

1. ( p ^ q ) → r

Invers ( ~p v ~q ) → ~r

Konvers r → ( p ^ q )

Kontraposisi ~r → ( ~p v ~q )

2. p → ( q ^ r )

Invers ~p → ( ~q v ~r )

Konvers ( q ^ r ) → p

Kontraposisi ( ~q v ~r ) → ~p

3. ~p → ( q ^ ~r )

Invers p → ( ~q v r )

Konvers ( q ^ ~r ) → ~p

Kontraposisi ( ~q v r ) → p

4. ( p v ~q ) → ( q ^ r )

Invers ( ~p ^ q ) → (~q v ~r )

Konvers ( q ^ r ) → ( p v ~q )

Kontraposisi (~q v ~r ) → ( ~p ^ q )

5. ( ~q ^ ~r ) → ( ~p v q )

Invers ( q v r ) → ( p ^ ~q )

Konvers ( ~p v q ) → ( ~q ^ ~r )

Kontraposisi ( p ^ ~q ) → ( q v r )

6. ( q v ~r ) → ( p ^ r )

Invers ( ~q ^ r ) → ( ~p v ~r)

Konvers ( p ^ r ) → ( q v ~r )

Kontraposisi ( ~p v ~r) → ( ~q ^ r )

# Exercise 2

a) Jika hasil produksi melimpah, maka harganya turun.

Invers : Jika hasil produksi tidak melimpah, maka harganya tidak turun.

Konvers : Jika harga turun, maka hasil produksi melimpah.

Kontraposisi : Jika harga tidak turun, maka hasil produksi tdak melimpah.

b) Jika lapangan pekerjaan tidak banyak, maka pengangguran meningkat.

Invers : Jika lapangan kerja banyak, maka pengangguran menurun.

Konvers : Jika pengangguran meningkat, maka lapangan pekerjaan tidak banyak.

Kontraposisi : Jika pengangguran menurun, maka lapangan pekerjaan banyak.

c) Jika ABCD bujur sangkar, maka ABCD segi empat.

Invers : Jika ABCd tidak bujur sangkar, maka ABCD tidak segi empat.

Konvers : Jika ABCD segi empat, maka ABCD bujur sangkar.

Kontraposisi : Jika ABCD segi tidak empat, maka ABCD tidak bujur sangkar.

d) Jika x > 10, maka xkuadrat >100.

Invers : Jika x kurang dari atau sama dengan 10, maka x kuadrat kurang dari atau sama dengan 100.

Konvers : Jika xkuadrat > 100, maka x > 10.

Kontraposisi : Jika x kuadrat kurang dari atau sama dengan 100, maka x kurang dari atau sama dengan10.

e) Jika x kuadrat -16=0, maka x=4 atau x=-4.

Invers : Jika x kuadrat -16 tidak sama dengan 0, maka x tidak sama dengan 4 atau x tidak sama dengan - 4.

Konvers : Jika x=4 atau x= -4, maka x kuadrat - 16=0.

Kontraposisi : Jika x tidak sama dengan 4 atau x tidak sama dengan - 4, maka x kuadrat - 16 tidak sama dengan 0.

f) Jika sin x = 90 derajat - cos x, maka x merupakan sudut lancip.

Invers : Jika sin x tidak sama dengan 90 derajat - cos x, maka x tidak merupakan sudut lancip.

Konvers : Jika x merupakan sudut lancip, maka sin x = 90deratat - cos x.

Kontraposisi : Jika x tidak merupakan sudut lancip, maka tidak sama dengan 90 derajat– cos x.

g) Jika tan x = -1, maka x = 135derajat dan x = 315 derajat.

Invers : Jika tan x tidak sama dengan -1, maka x tidak sama dengan 135 derajat atau x tidak sama dengan 315derajat.

Konvers : Jika x = 135derajat dan x = 315derajat , tan x = -1

Kontraposisi : Jika x tidak sama dengan 135derajat atau x tidak sama dengan 315derajat, maka tan x tidak sama dengan -1

# Exercise 3
1. * Semua bilangan asli bilangan bulat.
* Jika x bilagan asli, maka x bilangan bulat.Negasi, PBE :
a. Tidak benar jika x bilangan asli, maka x bilangan bulat.
b. Tidak benar bahwa semua bilangan asli bilangan bulat.
c. Tidak semua bilangan asli bilangan bulat.
d. Ada bilangan asli yang bukan bilangan bulat.
e. x bilangan asli akan tetapi x bukan bilangan bulat.

2. * Semua bangun segiempat bujur sangkar.
* jika x bangun segiempat, maka x bujur sangkar.
Negasi, PBE :
a. Tidak benar jika x bangun segiempat, maka x bujur sangkar.
b. Tidak benar bahwa semua bangun segiempat bujur sangkar.
c. Tidak semua bangun segiempat bujur sangkar.
d. Ada bangun segiempat yang bukan bujur sangkar.
e. x bangun segiempat akan tetapi, x bukan bujur sangkar.

Tugas 2 PDM

Diposting oleh Mathematic Female Group on Senin, 09 September 2013 di 16.16

# Exercise 1

1. ( p ^ q ) → r

Invers (~p v ~q ) → ~r

Konvers r → ( p ^ q )

Kontraposisi ~r → (~p v ~q )

2. p → ( q ^ r )

Invers ~p → (~q v ~r )

Konvers ( q ^ r ) → p

Kontraposisi (~q v ~r ) → ~p

3. ~p → ( q ^ ~r )

Invers p → (~q v r )

Konvers ( q ^ ~r ) → ~p

Kontraposisi (~q v r ) → p

4. ( p v ~q ) → ( q ^ r )

Invers (~p ^ q ) → (~q v ~r )

Konvers ( q ^ r ) → ( p v ~q )

Kontraposisi (~q v ~r ) → (~p ^ q )

5. (~q ^ ~r ) → (~p v q )

Invers ( q v r ) → ( p ^ ~q )

Konvers (~p v q ) → (~q ^ ~r )

Kontraposisi ( p ^ ~q ) → ( q v r )

6. ( q v ~r ) → ( p ^ r )

Invers (~q ^ r ) → (~p v ~r)

Konvers ( p ^ r ) → ( q v ~r )

Kontraposisi (~p v ~r) → (~q ^ r )

# Exercise 2

a. Jika hasil produksi melimpah, maka harganya turun.

Invers : Jika hasil produksi tidak melimpah, maka harganya tidak turun.

Konvers : Jika harga turun, maka hasil produksi melimpah.

Kontraposisi : Jika harga tidak turun, maka hasil produksi tdak melimpah.

b. Jika lapangan pekerjaan tidak banyak, maka pengangguran meningkat.

Invers : Jika lapangan kerja banyak, maka pengangguran menurun.

Konvers : Jika pengangguran meningkat, maka lapangan pekerjaan tidak banyak.

Kontraposisi : Jika pengangguran menurun, maka lapangan pekerjaan banyak.

c. Jika ABCD bujur sangkar, maka ABCD segi empat.

Invers : Jika ABCd tidak bujur sangkar, maka ABCD tidak segi empat.

Konvers : Jika ABCD segi empat, maka ABCD bujur sangkar.

Kontraposisi : Jika ABCD segi tidak empat, maka ABCD tidak bujur sangkar.

d. Jika x > 10, maka xkuadrat >100.

Invers : Jika x kurang dari atau sama dengan 10, maka x kuadrat kurang dari atau sama dengan 100.

Konvers : Jika xkuadrat > 100, maka x > 10.

Kontraposisi : Jika x kuadrat kurang dari atau sama dengan 100, maka x kurang dari atau sama dengan10.

e. Jika x kuadrat -16=0, maka x=4 atau x=-4.

Invers : Jika x kuadrat -16 tidak sama dengan 0, maka x tidak sama dengan 4 atau x tidak sama dengan - 4.

Konvers : Jika x=4 atau x= -4, maka x kuadrat - 16=0.

Kontraposisi : Jika x tidak sama dengan 4 atau x tidak sama dengan - 4, maka x kuadrat - 16 tidak sama dengan 0.

f. Jika sin x = 90 derajat - cos x, maka x merupakan sudut lancip.

Invers : Jika sin x tidak sama dengan 90 derajat - cos x, maka x tidak merupakan sudut lancip.

Konvers : Jika x merupakan sudut lancip, maka sin x = 90deratat - cos x.

Kontraposisi : Jika x tidak merupakan sudut lancip, maka tidak sama dengan 90 derajat– cos x.

g. Jika tan x = -1, maka x = 135derajat dan x = 315 derajat.

Invers : Jika tan x tidak sama dengan -1, maka x tidak sama dengan 135 derajat atau x tidak sama dengan 315derajat.

Konvers : Jika x = 135derajat dan x = 315derajat , tan x = -1

Kontraposisi : Jika x tidak sama dengan 135derajat atau x tidak sama dengan 315derajat, maka tan x tidak sama dengan -1

TUGAS 3 PDM

Diposting oleh Mathematic Female Group on Senin, 05 Oktober 2009 di 05.34

Pembuktian Aturan Penyimpulan:

1. Silogisme (Sil)
p→q
q→r
.˙. p→r

(p→q)Λ(q→r) →(p→r)
ek [~(p→q)v~(q→r)]v(p→r) (imp)
ek [~(~pvq)v~(~qvr)]v(~pvr) (imp)
ek [(pΛ~q)v(qΛ~r)]v(~pvr) (DM)
ek {[( pΛ~q)vq]Λ[(pΛ~q)v~r]} v(~pvr) (dist)
ek {[( pvq)Λ(~qvq)]Λ[(pv~r)Λ(~qv~r]} v(~pvr) (dist)
ek {[( pvq)ΛT]Λ[(pv~r)Λ(~qv~r]} v(~pvr) (komp)
ek [( pvq)Λ(pv~r)Λ(~qv~r)]v(~pvr) (id)
ek {[(pvq)v~p]Λ[(pv~r)v~p]Λ[(~qv~r)v~p]}vr (dist)
ek{[(pv~p)vq]Λ[(pv~p)v~r)]Λ[(~qv~r)]}v r (asso)
ek [( T vq)Λ(Tv~r)Λ[(~qv~r)]}v r (komp)
ek [(TΛTΛ(~qv~r)]vr (id)
ek (~qv~r)vr (id)
ek ~qv(~rvr) (asso)
ek ~qv T (komp)
ek T (id)

2. Distruktive Silogisma (DS)
pvq
~p
.˙. q
[(pvq)Λ~p]→q
ek (pΛ~p)v(qΛ~p)→q (dist)
ek Fv(qΛ~p)→q (komp)
ek (qΛ~p)→q (id)
ek ~(qΛ~p)vq (imp)
ek (~qvp)vq (DM)
ek (pv~q)vq (kom)
ek pv(~qvq) (asso)
ek pv(qv~q) (kom)
ek pvT (komp)
ek T (id)

3. Konstruktive Dilema (KD)
(p→q)Λ(r→s)
(pvr)
.˙.qvs
{[(p→q)Λ(r→s)]Λ(pvr)}→( qvs)
ek [(~pvq)Λ(~rvs)Λ(pvr)]→(qvs) (imp)
ek [(pΛ~q)v(rΛ~s)v(~pΛ~r)]v(qvs) (imp)
ek [( pΛ~q)v(rΛ~s)v(qvs)]v(~pΛ~r) (asso)
ek {[( pΛ~q)vq]v[(rΛ~s)vs]}v(~pΛ~r) (asso)
ek {[qv( pΛ~q)]v[sv(rΛ~s)]} v(~pΛ~r) (kom)
ek {[(qvp)Λ(qv~q]v[(svr)Λ(sv~s)]}v(~pΛ~r) (dist)
ek [(qvp)ΛT]v[(svr)ΛT]v(~pΛ~r) (komp)
ek [(qvp)v(svr)]v(~pΛ~r) (id)
ek (qvpvsvr)v(~pΛ~r) (asso)
ek (qvs)v(pvr) v(~pΛ~r) (asso)
ek (qvs)v[(pvr)v~(pvr)] (DM)
ek (qvs)vT (komp)
ek T (id)

4. Distruktif Delema (DD)
(p→q)Λ(r→s)
~qv~s
.˙.~pv~r
{[(p→q)Λ(r→s)]Λ(~qv~s)}→ (~pv~r)
ek [(~pvq)Λ(~rvs)Λ(~qv~s)}→ (~pv~r) (imp)
ek [(pΛ~q)v(rΛ~s)v(qΛs)]v(~pv~r) (imp)
ek [(pΛ~q)v(qΛs)]v[(rΛ~s)v(~pv~r)] (asso)
ek{[(pΛ~q)vq]Λ[(pΛ~q)vs]v[(rΛ~s)v(~pv~r)]} (asso)
ek {[(pvq)Λ(~qvq)]Λ[(pvs)Λ(~qvs)]v[(rΛ~s)v(~pv~r)]} (dist)
ek {[(pvq)Λ(~qvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)]}v{[(rΛ~s)v~r]v~p} (asso)
ek {[(pvq)Λ(~qvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)]}v{[(rv~r)Λ(~sv~r)]v~p} (ek
ek {[(pvq)Λ T Λ(pvs)Λ(~qvs)]}v{[ T Λ(~sv~r)]v~p} (komp)
ek [(pvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)]v[(~sv~r)v~p] (id)
ek [(pvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)v~p]v(~sv~r) (asso)
ek [(pvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)v~p]v(~sv~r) (asso)
ek [(pvq v~p)Λ(pvs v~p)Λ(~qvs v~p)]v(~sv~r) (dist)
ek {[(pv~p)vq]Λ[(pv~p)vs]Λ(~qvs v~p)]v(~sv~r) (asso)
ek [( T vq)Λ( T vs)Λ(~qvs v~p)]v(~sv~r) (komp)
ek (TΛ T)Λ(~qvs v~p)v(~sv~r) (id)
ek (~qvs v~p)v(~sv~r) (id)
ek (sv~sv)v(~pv~qv~r) (asso)
ek T v (~pv~qv~r) (komp)
ek T (id)

Pelatihan 8
4.a 1. [(a∨c)∧~b]⇒[(d⇒c)⇒t]
2. ~a⇒b
3. ~b
.˙.(d⇒c)⇒f
4. a (2,3 MT)
5. a∨c (4 add)
6. a∨c∧~b (5,3 konj)
7. (d⇒c)⇒f (1,6 MP)

b 1. e⇒(f∧~g)
2. (f∨g)⇒h
3. e
.˙.h
4. f∧~g (1,3 MP)
5. f (4 simp)
6. f~g (5 add)
7. h (6 MP)

c 1. e⇒f
2. e⇒g
.˙.e⇒(f∧g)
3. ~e∨f (3 imp)
4. ~e∨g (4 imp)
5. (~e∨f)∧(~e∨g) (konj)
6. (~e∨f)∧g (Dist)
7. e⇒(f∧g)(Imp)

d.1. (~u ∨ v) ∧ (u ∨ v)
2. ~x ⇒ ~w
.˙.v ∨ x
3. w ⇒ x (2 trans)
4. ~u ∨ v (1 simp)
5. u ⇒ f) w (1 simp)
6. v ∨ ~u (4 kom)
7. ~v ⇒ ~u (6 impl)
8. ~u ⇒ ~w (5 impl)
9. ~v ⇒ w (7,8 HS)
10. ~v ⇒ x (9,3 HS)
11. v ∨ x (10 impl)

e. 1. e ⇒ f
2. g ⇒ f
.˙.(e ∨ g) ⇒ f
3. (e ⇒ f) ∧ (g ⇒ f)
4. (~e ∨ f) ∧ (~g ∨ f) (impl)
5. (~e ∧ ~g) ∨ f
6. ~(~e ∧ ~g) ⇒ f (impl)
7. (e ∨ g) ⇒ f

f. 1.(s⇒t)∧(u ⇒ v)
2. w ⇒(s ∨ u)
.˙. w ⇒(t ∨ v)
3. (s⇒t) (1 simp)
4. (s⇒t)∨ u (3 add)
5. (s ∨ u)⇒(t ∨ v) ( 4 dist )
6. w ⇒(t ∨ u) (2,5 MT)
7. (u ⇒ v) ( 1 simp )
8. (u ⇒ v) ∨ t ( 7 add)
9. (u ∨ v)⇒ v ∨ t ( 8 dist )
10. (t ∨ u)⇒(t ∨ v) ( 7 kom)
11. w ⇒(t ∨ v) (6,8 MT)

5. a 1.b ⇒ n
2.~b ⇒ s
.˙. n ∨ s
3.~n ⇒ ~b
4.~n ⇒ s
5.n ∨ s

b 1. (p ∧ n)⇒ h
2. (n ⇒h) ⇒s
3. p
.˙.s
4. p⇒(n⇒h) (1 eksp)
5. p⇒s (4,2 Sil)
6. s (5,3 MP)

c 1.(h ∨ u)⇒(a ∧ i)
2. a ⇒ k
3. ~k
.˙.~h
4. ~a (2,3 MT)
5. ~a ∨ ~i (4 add)
6. ~(a ∧ i) (5 DM)
7. ~(h ∨ u)
8. ~h ∧ ~u
9. ~h

d 1. b ∨ k
2.(b ∨ m)⇒(l ∧ m)
3. ~l
4. ~b⇒k (1 Imp)
5. ~(b ∧ m)∨(l ∧ h) (2 Imp)
6. ~(b ∧ m) (5 1d)
7. b ∨ m (6 DM)
8. ~b⇒m (7 Imp)
9. m⇒~b (8 Komp)
10. m⇒k (4,9 sil)
11. ~m ∨ k (10 Imp)
12. k (11 Imp)

Tugas 2 PDM

Diposting oleh Mathematic Female Group on Selasa, 15 September 2009 di 21.52